فرکانس طبیعی، نرخ ارتعاش یک جسم است که زمانی که بدون تاثیر نیروی محرکه یا کاهشی دچار آشفته میشود، ارتعاش میکند.
الگو یا شکل این حرکت ارتعاشی، حالت متناسب با ارتعاش بدن یا سیستم و به عنوان حالت طبیعی (normal mode) شناخته میشود.
اشیاء ارتعاشی میتوانند یک یا چند حالت طبیعی داشته باشند که بسته به اینکه چگونه بهطور اولیه مختل شدهاند، متغیر است. هر حالت طبیعی دارای فرکانس طبیعی مربوط به خود است. این دو ویژگی خواص دینامیکی اساسی سیستم را تشکیل میدهند.
شکل ۱: پل تاکوما ناروز در حال تجربه نوسانهای قابل توجه به دلیل بارهای باد در نزدیکی فرکانس رزونانس سازه.
یک سیستم یا جسم میتواند با هر نرخ دلخواهی نوسان یا ارتعاش کند، بسته به نیروی خارجی که حرکت آن را هدایت میکند:
- یک توربین میتواند با سرعتی متفاوت بچرخد که به سیال محرکهاش و ژنراتور متصل به آن بستگی دارد.
- بال یک هواپیما میتواند در بسیاری از فرکانسها به بالا و پایین پرچم بزند.
- کانتینر بار یک کامیون میتواند با فرکانسهای مختلفی ارتعاش کند، بسته به شرایط جادهای که کامیون در آن حرکت میکند.
این فرکانسها که سیستمها در آنها ارتعاش میکنند، فرکانسهای تحمیلی (forced frequencies) نامیده میشوند و بسته به شرایط بارگذاری اعمال شده به سیستم متفاوتاند.
برای مهندسان، درک فرکانس طبیعی یک سازه بسیار مهم است تا اطمینان حاصل شود که تحت شرایطی که ممکن است باعث طنینانداز (resonance) شود، عمل نکند. طنینانداز زمانی است که فرکانس تحمیلی یک جسم بدون کاهنده برابر با فرکانس طبیعی آن باشد.
ریاضیات پشت ارتعاش و فرکانس طبیعی
مخازن هارمونیک (harmonic oscillators) برای مدلسازی حرکت ارتعاشی بسیار مفید هستند.
اصل اساسی یک سیستم مخازن هارمونیک این است که جسم نیروی برگرداندن (F) را تجربه میکند که متناسب با جابجایی از وضعیت تعادل خود است. معادله برای یک مخزن هارمونیک ساده به صورت زیر است:
F=−kx
که در آن:
فرکانس طبیعی و خطر طنینانداز
برای هر سازه، یک فرکانس بارگذاری یا تحمیلی وجود دارد که منجر به پاسخهای نوسانی با دامنهای روزافزون میشود.
این فرکانس تحمیلی که منجر به این پاسخ نوسانی غیرقابل کنترل میشود، فرکانس طنینانداز (resonant frequency) نامیده میشود و به فرکانس طبیعی سیستم مربوط است.
برای سیستمهایی که هیچ تدابیر کاهشی ندارند، فرکانس طنینانداز برابر با فرکانس طبیعی است.
ساختمانهایی که تحت شرایط بارگذاری فرکانس طنینانداز قرار دارند، میتوانند در نتیجه افزایش دامنه این نیروی ارتعاشی در طول زمان خراب شوند. نمونههای فاجعهبار زیادی از این رخداد در تاریخ وجود دارد؛ یک مثال مشهور، سقوط پل تکیما ناروز در سال ۱۹۴۰ است.
ساختار پل موفق به در نظر گرفتن شرایط بارگذاری باد نشد و منجر به نوسان قابل توجهی از پل در اطراف فرکانس طبیعی خود شد. پنج ماه بعد، سیستم معلق پل تحت این نوسانات شدید شکست و منجر به فروپاشی کل پل شد.
- k ثابت سختی مثبت سیستم است که به واحدهایی مانند N/m بیان میشود
- x جابجایی مرکز جرم سیستم است
یک مثال رایج از یک مخزن هارمونیک پایه، سیستم جرم-فنر است.
این سیستم سادهترین سیستم ارتعاشی برای مدلسازی رفتار نوسانی است.
هنگامی که جرم از موقعیت تعادل خود جابجا میشود، فنر به میزان جابجایی که گسترش یا فشرده شدهاست، نیرویی متناسب اعمال میکند تا جرم را به سمت موقعیت تعادل حرکت دهد.
برای تعیین فرکانس طبیعی یک سیستم دینامیکی، میتوان تحلیل مقادیر ویژه (eigenvalue analysis) انجام داد تا فرکانس طبیعی بهدست آید.
تحلیل مقادیر ویژه عملیاتی ریاضی است که خواص دینامیکی سیستم را با استفاده از معادله خاص آن حل میکند که شامل سختی و توزیع جرم سیستم است.
برای یک مخزن هارمونیک ساده، تحلیل مقادیر ویژه میتواند با استفاده از فرمولهای اساسی از جبر خطی برای تعیین فرکانس طبیعی سیستم ساده باشد.
با استفاده از همان سیستم جرم-فنر فوق، فرمول فرکانس طبیعی (ωn) به رادیان در ثانیه به صورت زیر است:
ωn=mk
یک سیستم دینامیکی معمولاً میتواند دارای اثرات کاهشی باشد، مانند اصطکاک، مقاومت هوا یا یک عملگر. بهطور کلی، یک کاهنده بهمنظور کاهش دامنه اوج پاسخهای نوسانی هر ارتعاشی عمل میکند در حالی که فرکانس طبیعی سیستم را به سمت پایین جابجا میکند. این کار با کاهش مقدار نیروی بازیابی در یک سیستم نوسانی انجام میشود.
اضافه کردن یک کاهنده به مدل نوسانساز هارمونیک ساده، آن را به یک نوسانساز هارمونیک کاهشی تبدیل میکند؛ کاهنده مقدار نیروی بازیابی را نسبت به سرعت مرکز جرم کاهش میدهد.
در یک سیستم دینامیکی جرم-فنر-کاهنده، نیروی بازیابی ((F)) را میتوان با فرمول زیر مدلسازی کرد:
F=−kx−cv
که در آن:
- (c) ضریب کاهندگی مثبت کاهنده است که به واحدهایی مانند N-s/m بیان میشود.
- (v) سرعت مرکز جرم سیستم است.
فرکانس طبیعی یک یستم کاهشی نسبت به همتای بدون کاهش آن کاهش مییابد. این به دلیل آن است که نیروی کاهنده شتاب مرکز جرم را به سمت موقعیت تعادل کاهش میدهد و باعث میشود نوسانات کندتر و کمتر متداول شوند.
اندازهگیری بیابعاد کاهندگی سیستم، سختی، جرم و کاهش را به نسبتی به نام نسبت کاهندگی (Damping Ratio) مرتبط میکند. فرمول نسبت کاهندگی ( ζ ) به صورت زیر است:
[
\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}
]
نسبت کاهندگی نمایی سریع به آنچه فرکانس پاسخ در یک سیستم دینامیکی پس از یک اختلال اولیه از موقعیت تعادل به نظر خواهد رسید، ارائه میدهد.
فقط در سیستمهای کاهشی یا بدون کاهش که نسبت کاهندگی کمتر از ۱ است، سیستم در اطراف موقعیت تعادل نوسان خواهد کرد.
فرکانس طبیعی یک سیستم کاهشی بر اساس نسبت کاهندگی جابجا میشود؛ این فرکانس طبیعی کاهشی (ωd)
میتواند با استفاده از فرمول زیر محاسبه شود:
[
\omega_d = \omega_n \sqrt{1 – \zeta^2}
]
جابجایی در فرکانس طبیعی بر اساس نسبت کاهندگی در زیر مشاهده میشود؛ نمودار زیر پاسخ دامنه حالت پایدار یک سیستم را که تحت ارتعاشات اجباری قرار دارد، نشان میدهد، جایی که محور x نشاندهنده نسبت بین فرکانس اجباری و فرکانس طبیعی سیستم بدون کاهش است.
فرکانسی که با دامنه اوج همراه است نشاندهنده فرکانس رزونانس مورد نظر است که برابر با فرکانس طبیعی است.
توجه کنید که با افزایش نسبت کاهندگی، فرکانس اجباری که منجر به پاسخ دامنه اوج میشود، به سمت پایین جابجا میشود که نشاندهنده کاهش فرکانس طبیعی/رزونانس است.
شکل ۳: نمودار پاسخ دامنهای سیستمهای زیر میرایی که تحت فرکانسهای اجباری قرار دارند. محور افقی نسبت فرکانس اجباری به فرکانس طبیعی بدون میرایی (ω/ωn) را نشان میدهد و محور عمودی نسبت دامنه فرکانس پاسخ به دامنه فرکانس اجباری را نمایش میدهد.
طراحی سازههای مقاوم
بخشها یا مجموعههایی که مهندسان طراحی میکنند و با آنها کار میکنند معمولاً نمیتوانند به عنوان نوسانسازهای هارمونیک ساده مانند این سیستم جرم-فنر مدلسازی شوند، که به عنوان یک سیستم خطی در نظر گرفته میشود؛ اما روابط موجود در فرمول فرکانس طبیعی بالا میتواند به سیستمهای پیچیدهتر اعمال شود.
برای جابجایی فرکانس طبیعی یک سیستم، میتوانید یا سختی سیستم را تغییر دهید، یا جرم را تغییر دهید یا سیستم را کاهنده کنید.
سختی یک سیستم توسط شکل، توزیع ماده و اندازه آن تعیین میشود.
- افزایش سختی سیستم، فرکانس طبیعی را افزایش میدهد.
- افزایش جرم سیستم، فرکانس طبیعی را کاهش میدهد.
- افزایش کاهندگی سیستم، فرکانس طبیعی را کاهش میدهد.
شکل ۴: اولین مجموعه از اشکال/حالتهای ارتعاش به همراه فرکانسهای طبیعی مرتبط برای یک سازه بلند و باریک.
استفاده از شبیهسازی برای یافتن فرکانس طبیعی
فرکانس طبیعی یک سیستم پیچیده میتواند با استفاده از شبیهسازی به دست آید. با استفاده از روشهای تحلیل المان محدود (FEA)، هندسههای پیچیده به یک سری از هزاران یا میلیونها سیستم خطی یا غیرخطی پایه تقسیم میشوند تا ویژگیهای دینامیکی، مانند فرکانسهای طبیعی، فرکانسهای رزونانس و حالتهای نرمال کل قسمت/مجموعه را حل کنند.
تجهیز نامدار سیستم فناوری شبیهسازی را در پلتفرم خود ارائه میدهد تا این ویژگیهای دینامیکی را در نوع تحلیل فرکانسی تعیین کند، که حالتهای مختلف ارتعاش و فرکانس طبیعی مربوطه را تعیین میکند.
مهندسان همچنین میتوانند شرایط بارگذاری دورهای را شبیهسازی کنند که ارتعاشات فرکانس اجباری را تولید میکند تا بررسی کنند که طراحی چگونه تحت این نوع شرایط بارگذاری عمل میکند.
در زیر، میتوانید نتایج یک شبیهسازی تحلیل فرکانسی را مشاهده کنید که بارهای هارمونیکی نگرانکننده از باد و اثرات ریزش گرداب مرتبط ناشی میشود.
انجام این تحلیلهای شبیهسازی میتواند به شما بینشهایی درباره اینکه آیا طراحیهای شما الزامات ایمنی، کدها یا استانداردهای خاص صنعتی را برآورده میکنند یا خیر، یا اینکه آیا قطعه بهسادگی شکست خواهد خورد، بدهد. این تحلیلها همچنین بینشهایی مانند جابهجایی و توزیع تنشها در سراسر قطعه یا مجموعه را به شما میدهند و این امکان را فراهم میکند که به سرعت درک کنید چگونه میتوانید طراحیهای سازهای خود را برای مقاومتر کردن آنها تحت شرایط بارگذاری معین تغییر دهید. اغلب، این تغییرات طراحی شما را به سمت جابجایی فرکانس طبیعی سازه و کاهش شدت این پاسخهای رزونانس فراری باز میگرداند.
برای کسب اطلاعات بیشتر درباره قابلیتهای شبیهسازی تجهیز نامدار سیستم در نوع تحلیلهای فرکانس و هارمونیک، صفحات مستندات برای نوع تحلیل مربوطه (تحلیل فرکانسی و تحلیل هارمونیک) را بررسی کنید.
واژهنامه اصطلاحات کلیدی
فرکانس طبیعی چیست؟
فرکانس طبیعی فرکانسی است که یک سیستم پس از یک اختلال اولیه از موقعیت تعادل خود نوسان میکند.
فرکانس اجباری چیست؟
فرکانس اجباری فرکانسی است که یک سیستم به دلیل یک نیروی نوسانی خارجی با همان فرکانس ارتعاش میکند.
فرکانس رزونانس چیست؟
فرکانس رزونانس فرکانس اجباری است که یک سیستم تجربه میکند و باعث افزایش دامنههای رفتار نوسانی میشود. این فرکانس برابر با فرکانس طبیعی است.
نیروی بازیابی چیست؟
نیروی بازیابی نیروی کلی است که به سمت موقعیت تعادل یک سیستم هارمونیک عمل میکند.
نیروی بازیابی چیست؟
نیروی بازیابی نیروی کلی است که به سمت موقعیت تعادل یک سیستم هارمونیک عمل میکند.
نوسانساز هارمونیک ساده چیست؟
نوسانساز هارمونیک ساده یک سیستم دینامیکی است که در صورت جابجایی از موقعیت تعادل خود، نیروی بازیابی متناسب با جابجایی را نشان میدهد و در صورت عدم وجود نیروهای خارجی، به صورت الگوی سینوسی ثابت حرکت میکند.
نوسانساز هارمونیک زیرمخرب چیست؟
نوسانساز هارمونیک زیرمخرب یک سیستم دینامیکی است که در صورت جابجایی از موقعیت تعادل خود، نیروی بازیابی متناسب با جابجایی را نشان میدهد و در یک الگوی سینوسی با دامنههای نوسانی بهطور نمایی کاهشیافته حرکت میکند.
ثابت سختی چیست؟
ثابت سختی نسبت بین نیروی بازیابی اعمالشده به یک سیستم نوسانساز هارمونیک ساده و جابجایی مرکز جرم است.
ضریب میرایی چیست؟
ضریب میرایی نسبت بین سهم میراکننده در نیروی بازیابی یک نوسانساز هارمونیک زیرمخرب و سرعت مرکز جرم است.
تحلیل ویژهمقدار چیست؟
تحلیل ویژهمقدار تحلیلی است که برای بهدست آوردن فرکانس طبیعی یک سیستم هارمونیک استفاده میشود.
کلمات کلیدی:
- فرکانس طبیعی
- نوسانساز هارمونیک ساده
- نوسانساز هارمونیک زیرمخرب
- نیروی بازیابی
- فرکانس اجباری
- فرکانس رزونانس
- ثابت سختی
- ضریب میرایی
- تحلیل ویژهمقدار
- شبیهسازی دینامیک
- سازههای مقاوم
- تحلیل فرکانسی
- تحلیل هارمونیک
- نوسان و لرزش
- خواص دینامیکی
توضیح متا:
فرکانس طبیعی، نرخ نوسان یک سیستم در حالت تعادل میباشد. در این مقاله به بررسی ویژگیهای نوسانسازها و اهمیت فرکانس طبیعی در طراحی سازهها پرداخته شده است.