نرخ نمونهگیری (Sample Rate) یکی از مفاهیم مهم در جمعآوری دادهها و پردازش سیگنالها است.
شاید شما فکر کنید که این موضوع خیلی پیچیده نیست و همه چیز در این حد ساده است که فقط کافیست سیگنال را با دو برابر فرکانس آن نمونهگیری کنید.
اگر شما هم به این نکته جواب مثبت دادهاید (“بله!”)، شاید بهتر باشد ادامه مقاله را بخوانید.
در حقیقت، نرخ نمونهگیری که به نام نرخ نایکوئست (Nyquist Rate) معروف است، دو برابر فرکانس بالاترین مؤلفه سیگنال است. این نرخ برای جلوگیری از وقوع فرکانسهای جعلی (alias frequencies) ضروری است.
اما نکتهای که بسیار نادیده گرفته میشود، این است که سیگنالهایی که میخواهیم دیجیتال کنیم، باید دارای عرض باند محدود (bandwidth limited) به مقداری کمتر از نصف نرخ نایکوئست باشند.
بنابراین نکته مهم تنها فرکانس مورد نظر نیست، بلکه تمام فرکانسهای موجود در سیگنالی است که دیجیتال میکنیم و چگونگی مقایسه آنها با نرخ نمونهگیری که انتخاب کردهایم.
فرکانس جعلی چیست؟
واژه “جعل” به معنای یک نام فرضی یا اضافی است.
در حوزه جمعآوری دادهها، میتوان فرکانس جعلی را به عنوان یک فرکانس فرضی یا اضافی تعریف کرد.
برای درک بیشتر این موضوع، بیایید یک مثال از سینما ببینیم.
وقتی که شما یک فیلم از یک اتومبیل با سرعت بالا تماشا میکنید و به چرخهای خودرو نگاه میکنید، ممکن است چرخها به نظر برسند که به طرز عجیبی به آرامی میچرخند یا حتی عقبگرد میکنند.
این پدیده، فرکانس جعلی است که ناشی از برخورد ریاضی بین سرعت چرخش سریع چرخهای خودرو و نرخ فریم بسیار کند دوربین است.
شما بهطور ناخودآگاه این انحراف را از تفسیر خود از تصویر فیلتر میکنید زیرا از زوایای دیگر مشخص است که خودرو با سرعت بالا در حال حرکت است.
اما اگر فقط چرخهای خودرو را تماشا میکردید، ممکن است به نتیجهگیری نادرستی دست پیدا میکردید.
این مثال را ادامه میدهیم. میتوان دوربین را به عنوان سیستم جمعآوری داده و چرخهای در حال چرخش را به عنوان سیگنالی که در حال دیجیتال شدن است در نظر گرفت. اگر نرخ نمونهگیری سیستم جمعآوری داده نسبت به فرکانس سیگنال بسیار پایین باشد، دادههای شما بهطور مؤثری از هم جدا میشوند.
در اینجا، شما هیچ مرجع کمکی برای تحلیل ندارید. همهچیز فقط یک مجموعه تغییرات سیگنال در برابر زمان است.
کدامیک از این دادهها واقعی هستند و کدامیک فرکانسهای جعلی؟
ریاضیات فرکانسهای جعلی
اگر ما اطلاعات فرکانس سیگنال ورودی و نرخ نمونهگیری را داشته باشیم، میتوانیم یک فرکانس جعلی را پیشبینی کنیم. معادله زیر نشان میدهد که فرکانس جعلی تابعی از قدر مطلق تفاوت بین فرکانس سیگنال ورودی و نزدیکترین ضرب صحیح نرخ نمونهگیری است:
fa(N)=∣fin−Nfs∣
در این معادله:
• fafa: فرکانس جعلی
• finfin: فرکانس سیگنال ورودی
• fsfs: نرخ نمونهگیری
• NN: عدد صحیح بزرگتر یا مساوی صفر
حال بیایید این معادله را با چند مثال گسترش دهیم.
فرض کنیم نرخ نمونهگیری ثابت ۱۰۰۰ هرتز باشد. در زیر جدولی از فرکانسهای سینوسی ورودی و فرکانسهای جعلی محاسبهشده ارائه میشود:
فرکانس ورودی (finfin) فرکانس جعلی (fafa)
۱۰۰ هرتز ۱۰۰ هرتز
۲۰۰ هرتز ۲۰۰ هرتز
۶۰۰ هرتز ۴۰۰ هرتز
۷۵۰ هرتز ۲۵۰ هرتز
۹۰۰ هرتز ۱۰۰ هرتز
همانطور که میبینید، هر فرکانس ورودی که کمتر یا برابر با نیم نرخ نایکوئست (یعنی ۵۰۰ هرتز) باشد، بهدرستی باز تولید میشود.
اما هر فرکانسی که بیشتر از این مقدار باشد، فرکانس جعلی نادرستی تولید میکند و حتی ممکن است یک سیگنال DC را تولید کند.
فرکانس جعلی چیست؟
فرکانسهای جعلی معمولاً به صورت دادههای واقعی بهنظر میرسند.
برای مثال، اگر ما دادههایی را با نرخ نمونهگیری توضیحشده جمعآوری کنیم و فرکانس ورودی برابر با ۹۰۰ هرتز باشد، در عوض فرکانس جعلی ۱۰۰ هرتز را مشاهده خواهیم کرد. در اینجا تصویر فرکانس واقعی و فرکانس جعلی ممکن است بهخوبی قابل تمییز نباشند.
اگرچه سیگنالهای واقعی چیزی بهجز فرکانسهای خالص هستند، اگر فرکانس جعلی دیده شود، میتواند نتایج اشتباهی را بهدنبال داشته باشد.
راهحل چیست؟
برای برآورده کردن معیار نرخ نمونهبرداری نایکوئست، که میگوید نرخ نمونهبرداری باید حداقل دو برابر فرکانس بالاترین سیگنال مورد نظر باشد، باید اطمینان حاصل کنیم که هیچ مؤلفه فرکانسی بالاتر از این حد در سیگنال وجود ندارد.
اگر به محتوای فرکانسی منبع سیگنال اطمینان کافی نداریم، تنها راه برای رسیدن به این شرایط این است که سیگنال ورودی را قبل از دیجیتالسازی به یک فیلتر ضد آلیاسینگ (anti-aliasing filter) اعمال کنیم.
در اینجا ویژگیهای کلیدی فیلترهای ضد آلیاسینگ را بهطور خلاصه بیان میکنیم:
- طراحی پایینگذر (Low-pass design): این فیلتر فقط فرکانسهای پایینتر از یک حد مشخص را عبور میدهد.
- فرکانس گوشه (Corner frequency): این فرکانس باید برابر با حداکثر فرکانس مورد نظر شما (یعنی نصف نرخ نمونهبرداری) انتخاب شود.
- شیب تند در نوار انتقال (Steep transition-band roll-off): فیلتر باید بهطور سریع از نوار عبوری به نوار توقف (stop-band) منتقل شود.
به تصویر ۲ نگاه کنید که نمایی گرافیکی از فیلتر ایدهآل ضد آلیاسینگ را نشان میدهد. توجه داشته باشید که شکل عمودی ایدهآل نوار انتقال در طراحی واقعی فیلتر قابل دستیابی نیست و بهجای آن شیب منفی ایجاد میشود.
این واقعیت ما را مجبور میکند که بین فرکانس گوشه پایینتر یا نرخ نمونهبرداری بالاتر یکی را انتخاب کنیم. بهعنوان مثال، گوش انسان میتواند به فرکانسهای تا ۲۰ کیلوهرتز پاسخ دهد.
اگر فیلتر ضد آلیاسینگ ایدهآل ممکن بود، موسیقی میتوانست با نرخ نمونهبرداری ۴۰ کیلوهرتز دیجیتال شود. با این حال، نرخ استاندارد ۴۴.۱ کیلوهرتز هم به واقعیت فیلترهای غیر ایدهآل و هم به تمایل برای حفظ پاسخ کامل ۲۰ کیلوهرتز اشاره دارد.
آیا واقعاً به فیلتر ضد آلیاسینگ نیاز دارید؟
برخی از کارشناسان در این زمینه معتقدند که دادههای بهدستآمده بدون فیلتر ضد آلیاسینگ بیفایده هستند.
این افراد احتمالاً به شما خواهند گفت که حتی برای پارک کردن ماشینتان در گاراژ نیز باید کمربند ایمنی ببندید چون “کمربندهای ایمنی جانها را نجات میدهند.
” اما واقعیت این است که بسیاری از دادههای جمعآوری شده در اندازهگیریهای روزمره نیازی به فیلتر ضد آلیاسینگ ندارند تا نتایج دقیق و قابل استفادهای ارائه دهند.
به همین دلیل است که اکثر ابزارهای جمعآوری داده و دادهلاگرها فیلتر را در هر کانال اندازهگیری قرار نمیدهند.
هر کسی که با این نکته مخالف است باید از خود بپرسد آیا برای اندازهگیری ولتاژ باتری (که فرکانس آن صفر هرتز است) به فیلتر نیاز دارد یا خیر.
اگر پاسخ منفی است، در این صورت ما در واقع در حال باز کردن در به سمت سازش هستیم و میتوانیم آن را بیشتر باز کنیم تا شامل اندازهگیری سایر سیگنالهای DC یا نزدیک به DC مانند دما، رطوبت، جریان DC، جریان، فشار، بار، گشتاور و غیره شود.
همچنین سیگنالهایی که محتوای فرکانسی مشخص و محدودی دارند مانند ولتاژها و جریانهای 50/۶۰/۴۰۰ هرتز، فشار خون و جریانها و حتی برخی از پتانسیلهای زیستی مانند ECG و EMG نیز در این دسته قرار میگیرند.
ما در حال پوشش دادن بسیاری از حوزههای اندازهگیری بدون نیاز به فیلتر هستیم. البته فیلترها جایگاه خود را دارند.
نیاز به نمونهبرداری بیش از حد
تا کنون مشاهده کردهایم که یک سیگنال ورودی با پهنای باند محدود که با نرخی حداقل دو برابر فرکانس گوشه فیلتر ضد آلیاسینگ نمونهبرداری میشود، اجازه میدهد محتوای فرکانسی سیگنال ورودی بهدرستی بازتولید شود.
این عالی است اگر فقط به محتوای فرکانسی سیستم مورد آزمایش علاقهمند باشید، و در برخی از کاربردها این تنها دامنه تحلیل است. به مثال شتابسنج بازگردیم؛ شما واقعاً به شکل موج اهمیت نمیدهید زیرا طیف فرکانسی است که وجود و فرکانس لرزش موتور را منتقل میکند.
اما برای سایر کاربردها که شکل موج اطلاعات مهمی را منتقل میکند، استخراج آن از تنها دو نمونه در هر دوره سخت خواهد بود.
به شکل موج ۱۰۰ هرتزی و آلیاسشده در شکل ۱ اشاره کنید، شما حتی نمیتوانید بهطور تقریبی آن سینوس را با تنها دو نقطه بازسازی کنید.
هرگاه به بازتولید دقیق شکل موج نیاز داشته باشید، تنها راهحل شما نمونهبرداری بیش از حد با نرخی بالاتر از حداقل نایکوئست، معمولاً ۱۰ برابر یا بیشتر است.
به شرطی که محتوای فرکانسی سیگنال خود را بهدرستی در نظر گرفتهاید و احتمال وجود فرکانسهای جعلی را حذف کردهاید، مضربی که انتخاب میکنید به سلیقه شخصی بستگی دارد.